Sistem persamaan linear tiga variabel merupakan salah satu topik penting dalam matematika. Dalam matematika, sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebuah sistem persamaan linear yang mengandung tiga variabel dan tiga persamaan linear. Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan berbagai macam metode, seperti metode eliminasi Gauss-Jordan, metode substitusi, dan metode matriks.
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode eliminasi Gauss-Jordan merupakan sebuah metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Metode ini melibatkan operasi baris elementer pada matriks augmented dari sistem persamaan linear tersebut. Dalam metode eliminasi Gauss-Jordan, matriks augmented diubah menjadi bentuk matriks eselon tereduksi. Setelah matriks augmented berada dalam bentuk matriks eselon tereduksi, variabel-variabel dalam sistem persamaan linear tersebut dapat ditentukan secara mudah.
Metode Substitusi
Metode substitusi adalah sebuah metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Metode ini melibatkan mengganti suatu variabel dalam satu persamaan linear dengan ekspresi yang mengandung variabel yang lain. Dalam metode substitusi, suatu variabel dihilangkan dengan cara menggantinya dengan ekspresi yang mengandung variabel yang lain. Setelah variabel dihilangkan, sistem persamaan linear tersebut dapat diselesaikan dengan mudah.
Metode Matriks
Metode matriks adalah sebuah metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Metode ini melibatkan pembuatan matriks koefisien dan matriks hasil dari sistem persamaan linear tersebut. Setelah matriks koefisien dan matriks hasil dibuat, matriks augmented dari sistem persamaan linear tersebut dapat dibuat. Setelah matriks augmented dibuat, matriks augmented tersebut dapat diubah menjadi bentuk matriks eselon tereduksi dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Setelah matriks augmented berada dalam bentuk matriks eselon tereduksi, variabel-variabel dalam sistem persamaan linear tersebut dapat ditentukan secara mudah.
Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut:
3x + 2y – z = 7
2x – 2y + 4z = -2
-x + 0.5y – z = 0
Dalam contoh soal tersebut, terdapat tiga persamaan linear yang mengandung tiga variabel, yaitu x, y, dan z. Sistem persamaan linear tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, metode substitusi, atau metode matriks.
Penyelesaian Soal dengan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam metode eliminasi Gauss-Jordan, matriks augmented dari sistem persamaan linear tersebut adalah sebagai berikut:
| 32 -1 | 7
| 2 -24 | -2
|-1 0.5 -1 | 0
Matriks augmented tersebut kemudian diubah menjadi bentuk matriks eselon tereduksi:
| 100 | 1
| 010 | -2
| 001 | -2
Dari matriks eselon tereduksi tersebut, diperoleh x = 1, y = -2, dan z = -2. Dengan demikian, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah (1, -2, -2).
Penyelesaian Soal dengan Metode Substitusi
Dalam metode substitusi, satu variabel dihilangkan dengan menggantinya dengan ekspresi yang mengandung variabel yang lain. Pada contoh soal tersebut, variabel x pada persamaan pertama dapat dihilangkan dengan menggunakan persamaan z = 3x + 2y – 7. Setelah variabel x dihilangkan, persamaan pertama menjadi persamaan yang hanya mengandung variabel y dan z:
2y + 10z = 13
Variabel y pada persamaan tersebut kemudian dapat dihilangkan dengan menggunakan persamaan y = (13 – 10z)/2. Setelah variabel y dihilangkan, persamaan tersebut menjadi persamaan yang hanya mengandung variabel z:
z = -2
Variabel z yang telah didapat kemudian dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel y dan x. Dengan menggunakan persamaan y = (13 – 10z)/2, diperoleh y = -2. Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan z = 3x + 2y – 7, diperoleh x = 1. Dengan demikian, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah (1, -2, -2).
Penyelesaian Soal dengan Metode Matriks
Dalam metode matriks, matriks koefisien dan matriks hasil dari sistem persamaan linear tersebut adalah sebagai berikut:
| 32 -1 || x || 7 |
| 2 -24 | x | y | = |-2 |
|-1 0.5 -1 || z || 0 |
Matriks augmented dari sistem persamaan linear tersebut adalah sebagai berikut:
| 32 -17 |
| 2 -24-2 |
|-1 0.5 -10 |
Matriks augmented tersebut kemudian diubah menjadi bentuk matriks eselon tereduksi:
| 1001 |
| 010 -2 |
| 001 -2 |
Dari matriks eselon tereduksi tersebut, diperoleh x = 1, y = -2, dan z = -2. Dengan demikian, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah (1, -2, -2).
Kesimpulan
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebuah sistem persamaan linear yang mengandung tiga variabel dan tiga persamaan linear. Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan berbagai macam metode, seperti metode eliminasi Gauss-Jordan, metode substitusi, dan metode matriks. Dalam metode eliminasi Gauss-Jordan, matriks augmented dari sistem persamaan linear tersebut diubah menjadi bentuk matriks eselon tereduksi. Dalam metode substitusi, satu variabel dihilangkan dengan menggantinya dengan ekspresi yang mengandung variabel yang lain. Dalam metode matriks, matriks koefisien dan matriks hasil dari sistem persamaan linear tersebut dibuat, kemudian matriks augmented dari sistem persamaan linear tersebut diubah menjadi bentuk matriks eselon tereduksi. Metode mana yang digunakan tergantung pada kondisi dan kebutuhan yang ada.
