Apa yang Dimaksud Akar Imajiner?

Akar imajiner adalah salah satu konsep matematika yang seringkali membuat siswa bingung. Namun, sebenarnya konsep ini cukup sederhana dan mudah dipahami. Dalam artikel ini, akan dijelaskan secara lengkap apa yang dimaksud dengan akar imajiner dan bagaimana cara menghitungnya.

Pengertian Akar Imajiner

Akar imajiner adalah bentuk akar yang ditemukan dalam persamaan matematika yang tidak memiliki solusi riil. Dalam matematika, angka riil adalah angka yang dapat dinyatakan sebagai bilangan desimal atau pecahan. Contoh angka riil adalah 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Namun, ada beberapa persamaan yang tidak memiliki akar riil. Contohnya adalah persamaan x² = -1. Jika kita mencari solusi dari persamaan tersebut, maka kita akan menemukan bahwa tidak ada angka riil yang dapat memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, kita membutuhkan bentuk akar yang baru, yaitu akar imajiner.

Bentuk Akar Imajiner

Akar imajiner dinyatakan dalam bentuk √-1 atau i. Konsep i ini merupakan bilangan imajiner murni yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk angka riil. Dalam matematika, bilangan imajiner murni ditulis dalam bentuk a + bi, di mana a adalah bilangan riil dan bi merupakan bilangan imajiner murni.

Dalam bentuk akar imajiner, kita dapat menuliskannya sebagai √-x atau xi, di mana x adalah bilangan positif dan i merupakan bilangan imajiner murni. Contoh bentuk akar imajiner adalah √-9 atau 3i.

Cara Menghitung Akar Imajiner

Untuk menghitung akar imajiner, kita perlu mengikuti beberapa langkah berikut:

1. Tentukan bilangan yang akan dihitung akarnya.
2. Tuliskan bilangan tersebut dalam bentuk faktorisasi prima.
3. Hitung akar dari setiap faktor prima. Jika faktor prima tersebut merupakan bilangan pangkat 2, maka akar pangkat 2 dari bilangan tersebut adalah bilangan riil positif.
4. Tuliskan hasil akar dari setiap faktor prima dalam bentuk perkalian.
5. Tuliskan akar imajiner sebagai √-1 atau i di depan hasil perkalian tadi.

Contoh perhitungan akar imajiner dari √-12 adalah sebagai berikut:

1. Bilangan yang akan dihitung akarnya adalah -12.
2. Kita tuliskan -12 dalam bentuk faktorisasi prima menjadi -1 x 2 x 2 x 3.
3. Hitung akar dari setiap faktor prima. Akar dari -1 adalah i, akar dari 2 adalah √2, dan akar dari 3 adalah √3.
4. Tuliskan hasil akar dari setiap faktor prima dalam bentuk perkalian, yaitu i x √2 x √2 x √3.
5. Hasil akhir dari akar imajiner √-12 adalah i√12.

Contoh Soal Akar Imajiner

Berikut adalah contoh soal mengenai akar imajiner:

Hitunglah akar persamaan x² + 4x + 5 = 0.

Pertama-tama, kita perlu menghitung diskriminan dari persamaan tersebut. Diskriminan adalah bagian dalam akar pada rumus mencari akar-akar persamaan kuadratik. Rumus diskriminan adalah D = b² – 4ac.

Dalam persamaan x² + 4x + 5 = 0, maka a = 1, b = 4, dan c = 5. Maka, diskriminannya adalah:

D = 4² – 4 x 1 x 5 = -4

Karena diskriminan negatif, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar riil. Oleh karena itu, kita perlu mencari akar imajiner. Rumus mencari akar imajiner adalah:

x = (-b + i√-D)/2a atau x = (-b – i√-D)/2a

Dalam persamaan x² + 4x + 5 = 0, maka a = 1, b = 4, dan c = 5. Maka, rumus mencari akar imajiner adalah:

x = (-4 + i√4)/2 atau x = (-4 – i√4)/2

Kita dapat menyederhanakan rumus tersebut menjadi:

x = -2 + i atau x = -2 – i

Jadi, akar dari persamaan x² + 4x + 5 = 0 adalah -2 + i dan -2 – i.

Kesimpulan

Akar imajiner adalah bentuk akar yang ditemukan dalam persamaan matematika yang tidak memiliki solusi riil. Dalam bentuk akar imajiner, kita dapat menuliskannya sebagai √-x atau xi, di mana x adalah bilangan positif dan i merupakan bilangan imajiner murni. Untuk menghitung akar imajiner, kita perlu mengikuti beberapa langkah. Akar imajiner banyak ditemukan dalam persamaan kuadratik yang tidak memiliki akar riil. Dengan memahami konsep akar imajiner, kita dapat lebih mudah menyelesaikan persoalan matematika yang melibatkan bilangan imajiner.