Relasi merupakan suatu konsep matematis yang digunakan untuk menghubungkan antara elemen-elemen pada suatu himpunan. Salah satu jenis relasi yang sering digunakan adalah relasi fungsi. Relasi fungsi adalah relasi yang memenuhi syarat bahwa setiap elemen dari himpunan asal memiliki satu elemen dalam himpunan tujuan.
Syarat-syarat dari Relasi Fungsi
Agar suatu relasi dapat dikategorikan sebagai relasi fungsi, maka harus memenuhi beberapa syarat, yaitu:
1. Setiap Elemen pada Himpunan Asal Memiliki Satu Elemen pada Himpunan Tujuan
Syarat pertama yang harus dipenuhi oleh suatu relasi agar dapat dikategorikan sebagai relasi fungsi adalah setiap elemen pada himpunan asal harus memiliki satu elemen pada himpunan tujuan. Hal ini berarti bahwa tidak boleh terdapat dua atau lebih elemen pada himpunan asal yang sama memiliki lebih dari satu elemen pada himpunan tujuan.
Contohnya, jika kita memiliki himpunan asal A = {1, 2, 3} dan himpunan tujuan B = {a, b, c}, maka relasi {(1,a), (2,b), (3,c)} merupakan relasi fungsi karena setiap elemen pada himpunan asal hanya memiliki satu elemen pada himpunan tujuan.
Sedangkan jika kita memiliki relasi {(1,a), (2,b), (3,a)}, maka relasi tersebut bukan merupakan relasi fungsi karena elemen 1 dan 3 pada himpunan asal memiliki elemen a pada himpunan tujuan.
2. Setiap Elemen pada Himpunan Asal Harus Memiliki Elemen pada Himpunan Tujuan
Syarat kedua yang harus dipenuhi oleh suatu relasi agar dapat dikategorikan sebagai relasi fungsi adalah setiap elemen pada himpunan asal harus memiliki elemen pada himpunan tujuan. Hal ini berarti bahwa tidak boleh ada elemen pada himpunan asal yang tidak memiliki elemen pada himpunan tujuan.
Contohnya, jika kita memiliki himpunan asal A = {1, 2, 3} dan himpunan tujuan B = {a, b, c}, maka relasi {(1,a), (2,b), (3,c)} merupakan relasi fungsi karena setiap elemen pada himpunan asal memiliki elemen pada himpunan tujuan.
Sedangkan jika kita memiliki relasi {(1,a), (2,b)}, maka relasi tersebut bukan merupakan relasi fungsi karena elemen 3 pada himpunan asal tidak memiliki elemen pada himpunan tujuan.
3. Setiap Elemen pada Himpunan Tujuan Harus Dipetakan oleh Setidaknya Satu Elemen pada Himpunan Asal
Syarat ketiga yang harus dipenuhi oleh suatu relasi agar dapat dikategorikan sebagai relasi fungsi adalah setiap elemen pada himpunan tujuan harus dipetakan oleh setidaknya satu elemen pada himpunan asal. Hal ini berarti bahwa tidak boleh ada elemen pada himpunan tujuan yang tidak dipetakan oleh setidaknya satu elemen pada himpunan asal.
Contohnya, jika kita memiliki himpunan asal A = {1, 2, 3} dan himpunan tujuan B = {a, b, c}, maka relasi {(1,a), (2,b), (3,c)} merupakan relasi fungsi karena setiap elemen pada himpunan tujuan dipetakan oleh setidaknya satu elemen pada himpunan asal.
Sedangkan jika kita memiliki himpunan asal A = {1, 2} dan himpunan tujuan B = {a, b, c}, maka relasi {(1,a), (2,b), (3,c)} bukan merupakan relasi fungsi karena elemen c pada himpunan tujuan tidak dipetakan oleh setidaknya satu elemen pada himpunan asal.
4. Setiap Elemen pada Himpunan Tujuan Harus Dipetakan oleh Paling Banyak Satu Elemen pada Himpunan Asal
Syarat keempat yang harus dipenuhi oleh suatu relasi agar dapat dikategorikan sebagai relasi fungsi adalah setiap elemen pada himpunan tujuan harus dipetakan oleh paling banyak satu elemen pada himpunan asal. Hal ini berarti bahwa tidak boleh ada elemen pada himpunan tujuan yang dipetakan oleh lebih dari satu elemen pada himpunan asal.
Contohnya, jika kita memiliki himpunan asal A = {1, 2, 3} dan himpunan tujuan B = {a, b, c}, maka relasi {(1,a), (2,b), (3,c)} merupakan relasi fungsi karena setiap elemen pada himpunan tujuan hanya dipetakan oleh paling banyak satu elemen pada himpunan asal.
Sedangkan jika kita memiliki relasi {(1,a), (2,b), (3,a)}, maka relasi tersebut bukan merupakan relasi fungsi karena elemen a pada himpunan tujuan dipetakan oleh dua elemen pada himpunan asal, yaitu 1 dan 3.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan mengenai relasi fungsi:
Contoh Soal:
Diberikan relasi R = {(1,2), (2,3), (3,4)}. Apakah relasi R merupakan relasi fungsi?
Pembahasan:
Untuk menentukan apakah relasi R merupakan relasi fungsi atau tidak, kita perlu memeriksa apakah relasi R memenuhi syarat-syarat dari relasi fungsi atau tidak.
Syarat pertama yang harus dipenuhi adalah setiap elemen pada himpunan asal harus memiliki satu elemen pada himpunan tujuan. Dalam relasi R, setiap elemen pada himpunan asal hanya memiliki satu elemen pada himpunan tujuan. Oleh karena itu, relasi R memenuhi syarat pertama.
Syarat kedua yang harus dipenuhi adalah setiap elemen pada himpunan asal harus memiliki elemen pada himpunan tujuan. Dalam relasi R, setiap elemen pada himpunan asal memiliki elemen pada himpunan tujuan. Oleh karena itu, relasi R memenuhi syarat kedua.
Syarat ketiga yang harus dipenuhi adalah setiap elemen pada himpunan tujuan harus dipetakan oleh setidaknya satu elemen pada himpunan asal. Dalam relasi R, setiap elemen pada himpunan tujuan dipetakan oleh setidaknya satu elemen pada himpunan asal. Oleh karena itu, relasi R memenuhi syarat ketiga.
Syarat keempat yang harus dipenuhi adalah setiap elemen pada himpunan tujuan harus dipetakan oleh paling banyak satu elemen pada himpunan asal. Dalam relasi R, setiap elemen pada himpunan tujuan hanya dipetakan oleh paling banyak satu elemen pada himpunan asal. Oleh karena itu, relasi R memenuhi syarat keempat.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa relasi R merupakan relasi fungsi.
Kesimpulan
Relasi fungsi merupakan salah satu jenis relasi yang sering digunakan dalam matematika. Agar suatu relasi dapat dikategorikan sebagai relasi fungsi, maka harus memenuhi beberapa syarat, yaitu setiap elemen pada himpunan asal harus memiliki satu elemen pada himpunan tujuan, setiap elemen pada himpunan asal harus memiliki elemen pada himpunan tujuan, setiap elemen pada himpunan tujuan harus dipetakan oleh setidaknya satu elemen pada himpunan asal, dan setiap elemen pada himpunan tujuan harus dipetakan oleh paling banyak satu elemen pada himpunan asal.
Dalam mempelajari relasi fungsi, sangat penting untuk memahami syarat-syarat dari relasi fungsi agar dapat mengidentifikasi apakah suatu relasi merupakan relasi fungsi atau tidak. Dengan memahami relasi fungsi, kita dapat memperluas pemahaman kita mengenai konsep matematika yang lebih kompleks.
