Vektor matematika adalah sebuah konsep yang digunakan dalam matematika untuk menggambarkan arah dan besarnya sebuah benda atau objek. Dalam dunia fisika, vektor juga digunakan untuk menyatakan gaya dan pergerakan.
Jenis-Jenis Vektor
Secara umum, terdapat dua jenis vektor, yaitu vektor posisi dan vektor gaya.
Vektor Posisi
Vektor posisi adalah vektor yang digunakan untuk menunjukkan posisi suatu benda atau objek dalam ruang. Vektor posisi biasanya dinyatakan dengan menggunakan tiga komponen, yaitu x, y, dan z.
Contohnya, jika kita ingin menunjukkan posisi sebuah mobil di jalan raya, kita dapat menggunakan vektor posisi dengan komponen x sebagai jarak mobil dari titik awal, komponen y sebagai jarak mobil dari sisi kiri jalan, dan komponen z sebagai jarak mobil dari permukaan jalan.
Vektor Gaya
Vektor gaya adalah vektor yang digunakan untuk menyatakan gaya yang bekerja pada suatu benda atau objek. Vektor gaya biasanya dinyatakan dengan menggunakan tiga komponen, yaitu x, y, dan z.
Contohnya, jika kita ingin menghitung gaya yang bekerja pada sebuah bola yang dilemparkan ke udara, kita dapat menggunakan vektor gaya dengan komponen x sebagai gaya yang bekerja pada bola ke arah horizontal, komponen y sebagai gaya yang bekerja pada bola ke arah vertikal, dan komponen z sebagai gaya yang bekerja pada bola ke arah kedalaman.
Operasi Vektor
Untuk melakukan operasi vektor, terdapat beberapa teknik yang dapat digunakan, yaitu penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan perkalian vektor.
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen-komponen vektor yang sejenis. Contohnya, jika kita memiliki dua vektor A dan B dengan komponen-komponen (ax, ay, az) dan (bx, by, bz), maka hasil penjumlahan kedua vektor tersebut adalah (ax+bx, ay+by, az+bz).
Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor dilakukan dengan cara mengurangkan komponen-komponen vektor yang sejenis. Contohnya, jika kita memiliki dua vektor A dan B dengan komponen-komponen (ax, ay, az) dan (bx, by, bz), maka hasil pengurangan kedua vektor tersebut adalah (ax-bx, ay-by, az-bz).
Perkalian Vektor
Perkalian vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu perkalian skalar dan perkalian vektor.
Perkalian skalar dilakukan dengan cara mengalikan besarnya vektor dengan cosinus sudut antara kedua vektor tersebut. Contohnya, jika kita memiliki dua vektor A dan B dengan besarnya masing-masing adalah a dan b, dan sudut antara kedua vektor tersebut adalah θ, maka hasil perkalian skalar kedua vektor tersebut adalah abcosθ.
Perkalian vektor dilakukan dengan cara mengalikan kedua komponen vektor tersebut dengan determinan matriks yang berisi vektor-vektor tersebut. Contohnya, jika kita memiliki dua vektor A dan B dengan komponen-komponen (ax, ay, az) dan (bx, by, bz), maka hasil perkalian vektor kedua vektor tersebut adalah:
[ (aybz – azby), (azbx – axbz), (axby – aybx) ]
Contoh Soal Vektor Matematika
Berikut ini adalah beberapa contoh soal vektor matematika:
Contoh Soal 1
Diberikan vektor A dengan komponen-komponen (3, 4, 5) dan vektor B dengan komponen-komponen (1, 2, 3). Hitunglah:
a. Hasil penjumlahan kedua vektor tersebut.
b. Hasil pengurangan kedua vektor tersebut.
c. Hasil perkalian skalar kedua vektor tersebut.
d. Hasil perkalian vektor kedua vektor tersebut.
Jawab:
a. A + B = (3+1, 4+2, 5+3) = (4, 6, 8)
b. A – B = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)
c. A.B = (3×1 + 4×2 + 5×3) = 26
d. A x B = [ (4×3 – 5×2), (5×1 – 3×3), (3×2 – 4×1) ] = [ (2), (4), (-6) ]
Contoh Soal 2
Diberikan vektor A dengan besarnya 5 dan vektor B dengan besarnya 3. Sudut antara kedua vektor tersebut adalah 60 derajat. Hitunglah hasil perkalian skalar kedua vektor tersebut.
Jawab:
A.B = 5x3xcos60 = 7.5
Contoh Soal 3
Diberikan vektor A dengan komponen-komponen (1, 2, 3) dan vektor B dengan komponen-komponen (4, 5, 6). Hitunglah hasil perkalian vektor kedua vektor tersebut.
Jawab:
A x B = [ (2×6 – 3×5), (3×4 – 1×6), (1×5 – 2×4) ] = [ (-3), (6), (-3) ]
Kesimpulan
Vektor matematika adalah konsep yang digunakan untuk menggambarkan arah dan besarnya sebuah benda atau objek. Terdapat dua jenis vektor, yaitu vektor posisi dan vektor gaya. Operasi vektor dilakukan dengan cara penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan perkalian vektor. Contoh soal vektor matematika dapat dipecahkan dengan menggunakan teknik-teknik tersebut.
